　以前に、「自然数を表現できて、しかも無矛盾なことが示せる体系がある」と書き込みましたが、その解説始めようと思うのですが、おつき合い願えますか？

　と言いつつすすめてしまっていますが、最初に記号論理学の記号たちの意味、お分かりになりますか？

> 　と言いつつすすめてしまっていますが、最初に記号論理学の記号たちの意味、お分かりになりますか？

　自由群が全ての群を表現できるように、「自由クラス」上に全ての集合論が表現可能なことをあらわす名前です。

　ＦＣの「集まり」も「クラス」も、ＺＦのクラスに似ていますが、それぞれ次のように異なります。

　ＦＣの「集まり」はけっして要素になりません。「クラス」のほうは全て要素になります。

　これは関数の性質ですが、事実、集合Ｓとその上の関数ｆでＦＣのmodelを作ることが可能です。

　「集まり」を整数の集合、クラスを整数、Ｚの部分集合からＺへの関数ｆを｛n_i｝→Σn_i　や｛n_i｝→max[n_i]とする。

　これらも使い道はありそうですが、ＦＣの本質を表現してはいないので、自然言語を用いた例で解説します。

　A.Fは”性質Ｆを満たすクラスを集めればある「集まり」が出来、その「集まり」はあるクラスを作る”ことを各Ｆごとに表している公理群です。

　アポロ８が月へ向かうのを生中継している１１ＰＭの中で、由美かおるが３人の宇宙飛行士を見送りながらこの歌を歌っていた。＞何号だったか定かでない。

　この歌詞を言語学の標準の方法で分析してみると。＞分析と言うほどではなく、ただ形式化するだけ。本質だけを議論するのでかなり話を単純にします

　音声で表される言語｛Fly me to the moon｝、その文章が表現する意味[私を月まで飛ばすイメージ、あるいは本当にそういう行動]、唄っている彼女の気持ちを表す言語｛Hold my hand! ,　Darling kiss me!｝、この文章が表現する意味[手を取って、キスをしてダーリン。こっちはイメージではなく行動でしょう]、前者の言語から後者の言語への「比喩」と呼ばれる写像、この写像によって引き起こされる音声言語の意味から彼女の気持ちへの対応関係、こんなところでしょうか。

　｛Hold my hand! ,　Darling kiss me!｝のほうは気持ちを解説しているのだから、前の文章に対しては「メタ言語」なのではないか。

　さらに、文章とその意味はほぼ一対一に対応しているのだから、両者を同一視してもよいのではないか。

　彼女が言った文章｛Fly me to the moon｝は、彼女の気持ちの中では、[手を取って、キスをしてダーリン]という概念になっている。

　ようするに、彼女のお相手はこの文章を聞けば、彼女の気持ちをこう察して行動に移す、というのが正しい判断なのでしょう。

　概念Fly、 me、 to、 the、 moonたちは、文章Ｓ＝｛Fly me to the moon｝の要素であり、文章Ｓ＝｛Fly me to the moon｝は概念I＝[手を取って、キスをしてダーリン]を作る。

　従って、概念∈文章、文章ma概念のそれぞれは、クラス ∈集まり、集まりma クラスとなります。

　ＦＣのクラスはその名に反して、ＺＦで「クラス」と呼ばれるものとは違い、要素を持っていません。

　ＺＦでは「集合」しか集めては行けませんが、ＦＣではどんなクラスを集めても構いません。

　ＺＦでは集合を集めて出来たクラスがもし集合であるなら、再びそのクラスを集める対象としますが、ＦＣではクラスを集めた「集まり」はそのままではまだ集める対象になっていません。＞クラスではないので「集まり」と呼ぶ

　「集まり」の要素たちが溶け合い一つになって「クラス」になると、再びそのクラスを集める対象とすることが出来ます。＞この過程を記述するのが述語「ｍ」です。ｍはmakeの頭文字で、α m ｃは「αがｃを作る」を表現しています

　ＺＦで「ｘ∈ｃ、ただしｃ＝｛ｘ、ｙ、ｚ｝」という論理式に対応する概念は、ＦＣでは「ｘ∈β、ただしβ＝｛ｘ、ｙ、ｚ｝、そしてβ m ｃ」という概念になります。

> 　概念Fly、 me、 to、 the、 moonたちは、文章Ｓ＝｛Fly me to the moon｝の要素であり、文章Ｓ＝｛Fly me to the moon｝は概念I＝[手を取って、キスをしてダーリン]を作る。

　それは「ローレンツ変換が難しくない」というのと同じで、ただしニュートン力学の見方を捨ててしまわなければならないように、普通の集合の見方を捨てなければなりません。

　例えば最初に集合a,b,c,....が存在したとすると、{a}、{{a}}、{a,b}、{a,{b},{{c}}}、....など限りなくクラスを生成することが出来ます。

　これに対してＦＣでは、最初にクラスa,b,c,....が存在したとして、{a}、{{a}}、{a,b}、{a,{b},{{c}}}、....等の「集まり」が作るクラスは最初に存在するクラスの中の一つですから、「無限にクラスが生成されて行く」ということはなく、閉じた形式で表現されます。

　　　　ｘ∈ｙ　　　　　　←→　　　　∃B（ｘ∈ B∧ B ma ｙ）　　　－ＴＲ－　　　　　　　　　　　　　　　　　＊ＴＲはtranslationの頭文字

　ＺＦで「ｘがｙの要素である」という論理式に対応するＦＣの論理式は「ｘを要素とするある集まりがｙを作る」となります。

　ＺＦでは「自分を要素とする」という集合は非常におかしなものですが、ＦＣではそういうクラスを理解するのは易しいことです。

　｛x,y,z｝＝xだとすると、確かにｘ∈ｘですが、｛x,y,z｝のｘを｛x,y,z｝で置きかえると、｛｛x,y,z｝,y,z｝となり、さらにｘを｛x,y,z｝で置きかえると、｛｛｛x,y,z｝,y,z｝,y,z｝となって、ｘは無限に続く入れ子構造のクラスだと分かりますが、理解の難しい対象です。

　｛x,y,z｝ ma x　とすると、ＴＲのＢを｛x,y,z｝とすれば、この式がＺＦのｘ∈ｘに対応した論理式であることが分かります。

　この式は単に集まり｛x,y,z｝の作るクラスがその要素であったというだけで、ｘは構造を持たない＝要素を持たないただの点ですから、形式が入れ子になってややこしくなったりはしません。

　もちろんｘのＺＦにおける事情は表現されてはいるのですが、ＦＣでは見通しよいことが議論を進めていくとお分かりになると思います。

　この論理式を自然言語で表現すると「クラスＲの要素であることは、自分を要素としないことである」となります。

　クラスＲは自分を要素としないクラスを全部集めたクラスである、と言うことも出来ます。

　右辺の括弧の中の式は、ＴＲよりＺＦではa∈ aを表しますから、右辺はその否定で￢ a ∈ a　です。

　確かに集まりＲ_0は、自分を要素としないクラスを全部集めた集まりで、ＺＦの論理式に対応しています。　　　

　このようにＮＳでは矛盾を導くクラスＲも、ＦＣで考察すると矛盾はなく、二式が得られるだけです。

　「自分を要素としないクラス全部を集めたクラスＲは、自分を要素とするのか？」という問いに対する答えは、こうなります。

　クラスや集合という概念の本来の姿を正確に捉えていなかった、と言うことができるでしょう。

　例えば６式は、ＴＲによらないので正式な対応ではないのですが、無理にＮＳで読めば、　　

　ＦＣでは異なる二つの式が、ＮＳ・ＺＦでは論理式の精密さが足りず区別不可能であり、その結果同じ式の否定・肯定が導かれ矛盾を導くわけです。

　ただし、ご存じのように「不完全」という言葉は、論理学では「公理系から導けない真の命題がある」ことを表現しますから、「自然数を表現できる」集合論の公理系は、「不完全性定理」より無矛盾なら不完全です。

　ＺＦの上に現代数学のほぼ全ては表現できているので、良い公理系であることは確かです。

　現代の数学者達は、ＺＦの公理系が提案されて以降、クラス・集合に対して疑問は持っていないようですから、何か疑問をお持ちの小林さんは数学者たちより感性が鋭いのではないでしょうか。

　自然数を定義する方法は、「推移性」と「整列可能性」を持つクラスとして「順序数」を定義し、さらに「０∈Ｋ　∧　ｎ∈Ｋ　→　ｎ＋１∈Ｋ」となる順序数Ｋたちの内最小のもの、とするのが普通ですが、もっと易しく「０は自然数　∧　ｎが自然数ならｎ＋１も自然数」として解説します。＞次回

　集合論に詳しい人は「部分集合と要素の区別なんて基本なのに」と思うかも知れませんが、結構いろいろな問題が検討可能です。

　論理式では区別は容易ですが、図に書いた場合、もし集合を○で表現すると、集合Ｘの丸の中に描いた集合Ｙの丸は集合Ｘの部分を囲った丸なのか、Ｘの要素としての集合Ｙを表しているのかが分からない。

　というものですが、これは「Ｚの要素はＺの部分集合である」と言っているわけで、要素と部分集合がほぼ同じことを表しています。

　２．とか３．の理由のせいで、「要素と部分集合が似ているなあ」と思う人が居ても不思議ではないですね。

　海の一要素として生命であるクラゲが存在し、生命の一要素として器官である触手が存在する。

　触手は海の要素ではない。＞海は触手を持っていない。ソラリスは持っているよーな　(^^)　　

　自然数について考察する前に、あるクラスＣよりその部分クラス全てのクラスＰ_cのほうが要素の数が多いことを証明します。

　これは「対角線論法」と呼ばれる方法で、整数より実数の方が濃度が大きいことを示す「ベルンシュタインの定理」と見た目は異なりますが等価なものです。　　　　

　Ｋは、Ｃの要素の内、その要素に対応する部分クラスに含まれないもの全部を集めたクラスです。

　Ｋは０式よりＣの部分クラスですから、仮定ＨよりＫのｆ’による値はＣの中に存在しなければ成りません。

　このように、「対角線論法」はいろいろな結果を導くことの可能な方法なのですが、実は「両刃の剣」なのです。

　ＺＦでは「Set」という述語を使い矛盾を回避しているのですが、ＦＣでは「対角線論法」自体を否定してしまいます。＞次回

　ある集合Ｃの要素たちｘ、ｙ、ｚがそのままだと三つの要素達、そしてそれらをまとめるとＣの部分集合Ｐ＝｛ｘ、ｙ、ｚ｝となるわけです。

　この両者を区別しないと言うことは、集合｛ｚ、ｙ、ｚ｝が依然として「要素たちｘ、ｙ、ｚ」であり、「集合」というまとまった概念とは思えない、すなわち｛ｘ、ｙ、ｚ｝が集合Ｐとなるための過程が必要ということですから、これはＦＣのコンセプトと同じです。

　小林さんのご意見は、なんだかＺＦよりＦＣに賛成しているように感じますが、ＺＦは「ニュートン力学が正しい」ように正しいと思います。＞限定された範囲では全く正しい

　事実に対応しない理論を支持している者をＭＳと呼ぶとしたら、数学の世界には記述すべき事実がない、従って矛盾さえしていなければ如何なる非標準理論を支持しようが、ＭＳと呼ばれることはない、ゆえにＦＣを堂々と肯定しても大丈夫。

　この文章の中で、「部分集合」という言葉を正確に使われているので、その概念を理解されているのだと想像します。

　２．命題とそれが真となる対象を集めたクラスを対応させると、全クラスや補クラスに対応するトートロジーや否定という概念は怪しい。

　小林さんの使われた言葉「全集合」は確かに怪しくて、この存在を仮定すると矛盾が導かれます。

　しかし、集めてもよい対象を表す「Set」という述語を用いて、矛盾は回避されています。　＞後で解説

　自然言語で言うと、クラスＲは「自分を要素としないクラスを全部集めたクラスである」ですが、ノイマンは何かの条件でクラスを「全て」集めてはいけない、要素になりうるものだけを集めよ、と言うのです。

　自然言語で言うと、クラスＲは「自分を要素としないクラスでしかもSetであるものを全部集めたクラスである」となります。

　結果を見ると、￢Set　Ｒ　ですから、Ｒは大き過ぎてもはやSetにはなり得ないことが分かります。

　クラスＲはもはやSetになり得ない、と絶対的な言い方をしていますが、実はそうではなくて、Setとは「ＺＦにとって何が対象なのか？」、あるいは「要素にしたいものは何か？」を定義する述語なのです。

　クラスＲや全クラスUは「Setでない」ことが分かりますが、あるクラスが「Setである」ことはなかなか分かりません。

　ＺＦの公理……ZermeloとFrankelが提案したからこう呼ばれる……は１０個ありますが、「何がSetか」を定義していると言うこともできます。

　A.maについては、公理により確かに、Ｍ５の全ての集まりに対して唯一のクラスを作るようになっている。

　A.elについては、有限集合Uとその部分集合がＭ５の集まりなので、ＺＦの「集合の同一性」の公理を満たし、それはA.elそのものです。

　A.Fについては、F(a)として如何なる条件を採っても、F(0)、F(1)、F(2)、F(3)、F(n)、それぞれの真偽値を確かめるという五回の手間でF(a)を満たす集まりBが決定できる。

　今まで議論してきて分かるように、ＦＣはＺＦの数々の矛盾を解消し、しかも「自然数」を表現できるのだから、既に「自然数を表現可能でしかも無矛盾な体系」と思えるのですが、「証明」が出来ていません。

　Ｍ５は「証明」のためのmodelなのですが、実際にどういう風に無矛盾性を証明するのか知識がありません。

　しかし、Ｍ５がＦＣのmodelだということは、「Ｍ５の論理式がＦＣの式として読める」ということですから、もしＦＣが矛盾しているのなら、その矛盾を表現している論理式はＭ５の論理式でもあるわけで、Ｍ５に矛盾があることになる。

　こういう「小さな」体系が無矛盾であることなど容易く出来そうな気がします。＞精細は分かりませんが

　今回の議論は、数学としての精密さに欠けますが、スーガク者としては、まあいいのではないだろうかと思う。

　＞素晴らしい。人間の思考原理はひょっとすると、ＺＦ的なのかもしれませが、それが必然的に矛盾を内包しており、アクロバチックな逃げ方をしなければならないのなら、いっそ思考方法を見直してもいいのではないかと思うようになりました。

　数学の世界では、思考原理はたしかにＺＦが基礎になっているようですが、自然言語の基礎は実はＦＣなのです。

　この文が「AはBに等しい」……英語のbe動詞……を表現するのは、かなり稀な場合で、例えばある男が「うなぎ人間」であって、夜はひと、昼間はうなぎの姿をとるなどという事情があれば可能でしょう。

　たいていは「僕は昼食にうなぎ料理を食べる」という、一人の人間の希望・予定を表しているのが普通のことでしょう。

　こういう分析が可能な構文として、「僕は」はこの文のテーマの宣言であって、be動詞の主語ではなく、「昼食は」といううなぎ＝補語に対する主語が「省略」されているとするのがよく行われる方法です。

　しかし、文章に顕れない「隠れた」要素を仮定すると、構文の分析はややこしくなり、さらに、Ｓ１がすなおな「be動詞文」なのか、「うなぎ文」の典型なのかを判断する基準として、その会話がなされている「場」……昼休み前のサラリーマンの会話……まで分析の対象にすると、実際に言語学者が分析している「記号の列」はＳ１の単純さから遠く離れた「文法解析のために整えられた記号列」になってしまうのではないでしょうか。

　ただ、｛僕は、昼は、うなぎだ｝Ｓ１という文が、[僕は昼食にうなぎ料理を食べる]I2という概念を作る、それだけです。

　ひとの言語認識の過程をどんなに探ってみても、標準文法の言うような構文などは存在せず、Ｓ１ ma I1やＳ１ ma I2という関係があるだけなのではないでしょうか。