ケダさんのための行列の積って何？の説明 ：
数を表すのに、１万５千４百２十１と位の名前を書くと、判りやすいけど煩雑とも感じる。数字だけにして、１５４２１と書けば、すっきりととします。
同じコンセプトで線形写像を表現したのが行列です。
例えば、ＸＹ平面の上の線形写像は、
ｘ’＝２ｘ＋４ｙ
ｙ’＝７ｘ−２ｙ
などと式で書けますが、これを
２ ４
７ −２
と、書いてしまいます。これが行列です。実際は全体を（ ）に入れますが、括弧は本質でない。
もう一つ、線形写像の
ｘ’＝３ｘ−４ｙ
ｙ’＝１ｘ＋２ｙ
行列で書くと、
３ −４
１ ２
が、あったとして、上の写像で写してさらに下の写像で写すとどうなるかを計算すると、下の式のｘ、ｙに上の式のｘ’、ｙ’を代入して、
ｘ’＝３（２ｘ＋４ｙ）−４（７ｘ−２ｙ）
ｙ’＝１（２ｘ＋４ｙ）＋２（７ｘ−２ｙ）
整理して、
ｘ’＝（３×２＋（−４）×７）ｘ＋（３×４＋（−４）×（−２））ｙ
ｙ’＝（１×２＋２×７）ｘ＋（１×４＋２×（−２））ｙ
行列で書くと、
３×２＋（−４）×７ ３×４＋（−４）×（−２）
１×２＋２×７ １×４＋２×（−２）
これはよくみると、二つの行列 、
２ ４
７ −２
３ −４
１ ２
の積、
３ −４ × ２ ４
１ ２ ７ −２
の定義になっています。
ようするに、初めの写像Ｓ１で写し、二番目の写像Ｓ２で写す、＝写像の積Ｓ２×Ｓ１、というのを式で書くと、ｘやｙがあって煩雑ですが、数を表すのにその本質の数字だけで１５４２１と書いたのと同じ方法で、写像の積を数字だけで書いたのが行列の積なのです。
もう一度まとめます。
線形写像の積をよく見ると、行列の積になっていた、というわけではなくて、もともと行列とは線形写像のかけ算をx,y,z,uなどの記号を略して書いたものです。
もちろん、出来上がってしまえば、行列という表現は、もともとの写像の表現を離れてさまざまな応用がなされています。
数学クイズ
−微生物同定−
「はかせ〜、急いで下さ〜い。ダイモス行き移動式軌道エレベータ相互乗り入れ急行列車、もうすぐ発車ですよ〜」
「お〜待っちくれ〜、コウちゃ〜ん」
一ヶ月かけたシルチス地底湖微生物調査を終えた火星生物学の権威ケダ女史は、両手にスーツケースと資料の束を抱え、巨体を揺すりながら駈けてきた。
なに？紙の束を抱えて？なんでや、と思ったら案の定、女史はこけた。
ケダ女史の手から放たれた資料の束は、見事に舞い上がり、季節風に吹き飛ばされちりぢりになった。三分の一気圧とはいえ、かなりの風力だ。
香は酸素マスクのスピーカーの音量を上げ、通行人に散らばった紙を拾い集めて貰うよう頼んだ。
「間に合って良かったですね博士。急行もし乗り損なったら、フォボス直通の軌道ロープウエイのほうにしなきゃならないところでしたけど、あれは乗り心地悪いですしね」
「せやな、宇宙酔いになるのいややし」
「ところで博士、なんで実験データ、紙にプリントアウトして持っていたんですか？ディスクに保存しておけばよいのに」
「あれうっかり鍋敷きと間違うからあかん。今までに３枚ぐらい鍋載せて溶かした」
「それにしても『重要書類ズッコケ撒き散らし』きっちり決めなくても」
「つつがなく調査が終わりそうやから、ここらでギャグかまして笑いをとらんと、と思たんや。うまいことこけたやろ？」
「お笑い芸人じゃないんですからあほなことしないで下さい」
というわけで、全て集めたと思った火星地底湖の微生物に対する実験データは、かなりの部分が欠けてしまうこととなった。
※移動式軌道エレベータ：僕のアイデア
※軌道ロープウエイ ：修理屋アさんのアイデア
Astronomyのページに解説
博士が行ったさまざまなリサーチのなかには、地底湖の藻類のサンプル８個体を採集し、それらお互いの同定検査を行うというものがあった。DNAを比べて、異なっているどうかを調べたのだ。しかし、全検査２８の内１２組のデータは博士のボケせいで失われていた。
結果を整理すると、次に記した１６組の個体同士は、お互いに異なる種だということが分かった。この部分的な検査結果から、少なくとも何種類の藻類が棲息していることが確かだと結論できるだろうか？
１−４、１−５、１−６、１−７，１−８、２−３、２−５、２−６，２−７，２−８、３−７、３−８，４−７、４−８，５−８，６−８、
このクイズはＰＨＳのアンテナ局の周波数割り当てと本質は同じ問題なのです。
８基のアンテナがあって、データにあるアンテナ同士の周波数は異なるようにして、しかも最も少ない周波数の種類で済ますには、何種類あればよいか？という問題としても読めるわけです。
やさしい例で考えると、推論の方法が分かるかも知れません。
５個体の藻類があって、データは、１−２、２−３、３−４、４−５、１−５だったら？
１と２が違うから、少なくとも２種類いる。２と３が違う、けど１と３は同じかも知れないから、まだ２種類かも。３と４が違う、けど２と４は同じかも知れないから、２種類の可能性は依然としてある。４と５が違う、もし１と５が同じなら、２種類のままであり得るけど、１と５が違うというデータがあるから、どうしても３種類いることになる。
｛１，３｝｛２，４｝｛５｝の３種類の藻類の同定検査のデータだったと仮定しても、上に書いたデータは矛盾しないから、４種類以上居るという結論は得られない。
故に、答えは、「少なくとも３種類の藻類が居る」となる。
こういうふうに推理します。
火星クイズの「むずかし版」です。
１−４、１−５、１−６、１−７、１−８、２−３、２−５、２−６、２−７、２−８、３−４、３−７、３−８、４−７、５−８、６−８
もとの問題との違いは、４−８のデータがなくて、３−４があります。
なに？どうしてむずかしくなっているのか分からない？ えーっと…… (^^;)
Cataran予想の解決
ベルギーの数学者Catalanは、友愛数に関係した予想もしているので、最初そちらが解決したのかと思った。
カタラン予想：
一つの数を何乗かして、他の数を何乗かします。その差をとると１になるのは3^2と2^3の場合だけである、というのがCatalanのディオファンタス方程式に関する予想です。
なんということもない問題に見えるけど、１５８年目にして解けたようです。
友愛数探索家にとってはずっと有名なのが、こちらのほうです。
カタランのAliquot 数列に対する予想 ：
ｓ（ｎ）＝σ（ｎ）−ｎ とします。
ただし、 σ（ｎ）はｎの約数の和。
このｓ（ｎ）をある数ｎ０にたいして繰り返し計算します。英語で言うとiteration。
ｎ１＝ｓ（ｎ０）、ｎ２＝ｓ（ｎ１）、ｎ３＝ｓ（ｎ２）、……
こうしてできだ数列、ｎ０、ｎ１、ｎ２、ｎ３、……は、必ず次の終わり方になる。
１．素数になる。
２．完全数になる。
３．社交数になる。※周期２の場合は友愛数と呼ばれる。
例えば、１０，８，７＝素数
１２，１６，１５，９，４，３＝素数
２４，３６，５５，１８，１２，１６，１５，９，４，３＝素数
このページに面白い例のグラフがあります。
２７６から始まる数列は、この予想に対するcounter exampleかも知れない。
こっちの予想は未解決のままです。
ケダさんとbeckさんのための基礎論の解説
人間の行う思考活動の基礎になっているのが、科学知識とその思考法である言ってもよいのでしょうか。
そうだとして、それらの科学理論のさらに基礎となり、またそれを表現する言葉となっているのが数学ですね。
その数学の基礎の部分が、そのまんまの名前の「基礎論」と呼ばれる分野なのです。これには、集合論、記号論理学などが含まれます。
ところで、思考の元になっている部分ですから、当然それはその名のとおり、その上にそびえる人間の知識体系という壮大な建築物をしっかりと支える、美しく不動の無矛盾の体系があるのだと誰もが思うのでありましょう。
しかし、ゲーデルは少なくともその上に数学理論を表現できるような体系……集合論もその一つ……ならば、それ自体の無矛盾性はその体系の内部では証明できないことを示してしまいました。
体系Aについて外部の体系Bから無矛盾性を証明できる可能性はありますが、それができても、こんどはBの無矛盾性を言わなければならす、事態は良くなっていないわけです。
それで、今最もポピュラーな集合論はＺＦ……ツェルメロ・フランケル……の公理系と呼ばれる体系なのですが、無矛盾性は証明できるはずもなく、今のところ矛盾は見つかっていない、というだけの話なのです。
矛盾が見つかる可能性は大いにあると言わなければなりません。ＺＦ以前の集合論もまさか矛盾しているとは誰も考えていなかったのに、ラッセルがなかなか手強い矛盾を容易な式で構成して見せてしまいました。
彼の使った論理は「対角線論法」というかなりの切れ味を持った論理なのですが、喩えて言うなら、草薙の剣……これ、誰が何に使ったのだっけ？……かしらん。
基礎論の周辺を探検していた数学者たちが、その名刀でつい下草や灌木を薙ぎ払おうとした剣先が、まさか切れるわけもないと思った太い大理石の大黒柱を斜めにバサッと切り分けてしまったのでした。
ドドドドッと崩壊しかけた建物に、慌ててつっかえ棒をして逃げ帰ってきた、というのが基礎論の現状です。
底なしのゲーデル沼からは濃い霧が立ちこめ、皆が近づかなかったために鬱蒼と木が生い茂り、建物の入り口は見えません。
と、こんなふうなのですけど、基礎論も鬱蒼としたジャングルでしょ。 (^^)
「 Four cubes 」のページのidentity の発見の経緯とそれに対する、友人達の意見
Jean-Charls Mayrignac へ説明のために書いたメールの引用です。
For the explanation of my solution which I sent, I include mails between me and Eric Weisstein, and me and Noam D Elskie.
I think that you will understand all of the process that I discovered an identity for a^3+b^3+c^3+d^3=0.
After I had found it, I recognized there is a relationship with an
identity which is described on your site.
[Kohmoto <-> Weisstein]
--------------------
On Thu, 12 Oct 2000, y.kohmoto wrote:
> I found an identity of 3rd degree, it is as follows :
> (1679616*a^16 - 66096*a^10*b^6 + 153*a^4*b^12 )^3
> + (-1679616*a^16 - 559872*a^13*b^3 - 27216*a^10*b^6 +
> 3888*a^7*b^9 + 63*a^4*b^12 - 3*a*b^15)^3
> + (1679616*a^15*b + 279936*a^12*b^4 - 11664*a^9*b^7 -
> 648*a^6*b^10 + 9*a^3*b^13 + b^16 )^3
> = b^48
>
> I calculated it with Risa-Asir which is a Fujitsu' s software and runs
> as well as Mathematica in the area of Number Theory.
> Is this known?
I've never seen anything quite like it before. Can you tell me how it was
motivated? Ramanujan found some nice identities like
http://mathworld.wolfram.com/Ramanujan6-10-8Identity.html, but yours has
some really strange-looking coefficients.
Cheers,
-Eric
---------------------
Dear Eric
You asked how I got the identity.
I explain it from the beginning.
My algorithm runs rather fast, so I had obtained the following results
in a few minutes when I was searching the equations of high power of primes
representable as three cubes.
2^63=2081600^3+588366^3+1458^3
2^42=15173^3+9670^3+883^3
5^21=77270^3+24925^3+230^3
7^21=801934^3+349860^3+3087^3
3^42=4782888^3+177146^3+1
=4782321^3+354278^3+2^12
=4777785^3+708332^3+2^24
=4741497^3+1413080^3+2^36
=4723920^3+1587762^3+3^24
=4675158^3+1933976^3+11^12
=4605012^3+2274350^3+13^12
=4451193^3+2768816^3+2^48
I thought the last one was interesting, because the third terms were
also high power.
And I tried to get the general formula which gives these equations.
I obtained a formula as follows :
(3^2*a^4)^3 = (3^2*a^4-3*a*b^3)^3+(3^2*a^3*b-b^4)^3+(b^4)^3 ...(1)
But I have known already an identity which looks like it.
x_0 = 9*a^4; y_0 = -9*a^4+3*a; z_0 = -9*a^3+1;
on the site : http://euler.free.fr/identities.htm
This is the case of b=1 of (1).
So, my identity which I mailed corresponds to the x_3,y_3,z_3 on above
page.
I also made an iteration as follows :
x0=9*a^4; y0=-9*a^4+3*a*b^3; z0=-9*a^3*b+b^4; u0=b^4
x1=9*a^4; y1=-9*a^4-3*a*b^3; z1=9*a^3*b+b^4; u1=b^4
for n=2
xn=(432*a^6-2*b^6) * x_(n-1) - x_(n-2)*b^6 - 108 * a^4*b^6
yn=(432*a^6-2*b^6) * y_(n-1) - y_(n-2) *b^6- 108 * a^4*b^6
zn=(432*a^6-2*b^6) * z_(n-1) - z_(n-2)*b^6 + 216 * a^6*b^4 + 4*b^10
un= b^(6*n-2)
for 3<=n
xn=(432*a^6-2*b^6) * x_(n-1) - x_(n-2)*b^12 - 108 * a^4*b^(6*n-6)
yn=(432*a^6-2*b^6) * y_(n-1) - y_(n-2) *b^12- 108 * a^4*b^(6*n-6)
zn=(432*a^6-2*b^6) * z_(n-1) - z_(n-2)*b^12 + (216 * a^6*b^4 +
4*b^10)*b(6*n-12)
un= b^(6*n-2)
for all n
xn^3+yn^3+zn^3=un^3
ex. If n=4, the identity is as follows :
(725594112*a^22-31912704*b^6*a^16+194400*b^12*a^10-279*b^18*a^4)^3+
( -725594112*a^22-241864704*b^3*a^19-8398080*b^6*a^16+2799360*b^9*a
^13+85536*b^12*a^10-7776*b^15*a^7-153*b^18*a^4+3*b^21*a)^3+
( 725594112*b*a^21+120932352*b^4*a^18-8398080*b^7*a^15-839808*b^10*
a^12+23328*b^13*a^9+1296*b^16*a^6-9*b^19*a^3+b^22 )^3=b^66
After all, my discovery is a generalization that a,1-> a,b on the
identity of the site of Equal Sums Of Like Powers.
If someone sees only the result, he will think it seemed to be easy to
obtain it. But, no one had not realised it before I discovered it.
Sincerely yours
Yasutoshi
PS
My results are also the examples for the following equation :
a^7=b^3+c^3+d^3
I think they are not known. See the table 4.1 on Joe McLean's website :
http://www.glasgowg43.freeserve.co.uk/chapter4.htm
Once I mailed about it to him.
He didn't say anything yet. I suppose he doesn't believe it, because the
digits of terms of my results are too much more than his solutions' ones.
-------------------- --------------------
[Kohmoto <-> Elkies]
These are an abstract of the mails of Elkies.
The sentences with ">" are my mails.
--------------------
I do not recognize your identity either -- which does not necessarily
mean that it's completely unknown; you might want to post to
sci.math.research to see if somebody there has seen it before.
Because a^3+b^3+c^3+d^3=0 is a rational surface, there are infinitely
many two-parameter parametrizations. What is unusual about yours
is that d is a high power; while it is not surprising that such a
parmetrization should exist, neither is it obvious how one might find it.
>My algorithm runs rather fast, so I had obtained the following results
>in a few minutes when I was searching the equations of high power
>of primes representable as three cubes.
What is this algorithm? In my ANTS-IV paper (also available on the Web
at <http://arXiv.org/abs/math/0005139>), I describe an algorithm that
can find small values of x^3+y^3+z^3, and observe that it can also
find values that are p-adically "small", i.e. divisible by large powers
of a given prime. This could certainly find all the examples you report
in reasonably time, but I'm not aware that anybody has implemented
my algorithm p-adically -- I certainly never did. Is this how you
searched for those solutions, or did you go about it in some other way?
The p-adic method has the advantage the the time required to search
for solutions of: a^3+b^3+c^3=small multiple of p^k with a,b,c each
of size up to N, grows proportional to N, rather than N^2 for most
other methods. So it is bound to be better once N is large enough.
Just how large is "large enough" depends more on "engineering" details
of the programming, and thus partly on how much time and effort one
spends on writing an efficient program. But the facts that N grows
more slowly than N^2, and that I have successfully implemented
non-p-adic versions of my algorithm, gives me confidence that my
method works well also in the p-adic setting even though I cannot
give you precise timing estimates before actually programming something.
> a program for four cubes in UBASIC
> 1000 input A : B=1 : N=3
> 2000 K=A
> 2400 S=-K^N+A^N+B^N
> 2440 if 0<=S then S1=S-int(S^(1/N))^N else S1=S+int((-S)^(1/N))^N
> 2441 if and{S1=0 , S<0} then print A ; B ; (-S)^(1/3)
*** [probably should end (-S)^(1/N) so that you can adapt this to
*** other N by editing only line 1000 --NDE]
> 2700 if 0<S then A=A-1 else B=B+1
> 2720 if A<B then end
> 4000 goto 2400
Okay -- but this only computes solutions of K^3 = A^3 + B^3 + C^3
for which C is small enough that either (A+1)^3 + B^3 or A^3 + (B+1)^3
is still less than K^3. Since the number of such (A,B) pairs is
at most 2K, it is not surprising that you can try them all in time
proportional to K. I was addressing the harder problem for which
A,B,C are all allowed to be of approximately the same size; there
you have about K^2 points to try, and it requires more work to catch
all solutions in time proportional only to K.
> Thank you for the explanation about the calculation time of my method.
> Then, do you think that my program is good?
It's okay for what it does, which however is not the same as
finding the complete solution...
--------------------
Elkies said that my program runs as fast as his p-adic method.
I think It is marvelous but a little funny.
I wonder why it runs rapidly.
>> I saw your site. There is no description about the case of
>> a_1^k+a_2^k+...=b_1^l+b_2^l+... , k<l , so I have thought that you are
not
>> collecting these kind of solutions.
>>
>I don't collect these results, since I'm mainly interested into integer
>relations.
>But you can send me some examples...
This is an integer equation. If k=l then it becomes the same thing as
the first equation on your site.
I think you might misunderstand k<l as k<1, I mean
a^m+b^m+...=x^n+y^n+..., m<n in another writing.
For example, 3^42 = 4777785^3+708332^3+2^24, in above mail.
It is as same as 4777785^3+708332^3 = -2^24+3^42
= -(2^4)^6+(3^7)^6 , so k=3 and l=6 .
My first example is the case of a^3+b^3+c^3=d^1284 , so k=3 and l=1284.
How to obtain the example in Xmas mail :
Let a=3, b=2^20 in the identity of the case n=4, and divide the terms by
gcd of them, then you obtain it.
I allows negative integer.
Yasutoshi
under construction