５．順序数

　５−１．定義

　順序クラスは、次のように定義される。

　

　Ord x　 Df. ∃ B Ord B ∧ B ma x

　

　さらに、順序集まりは、次のように定義される。

　

　Ord A　 Df. Com A ∧ Con A ∧ Reg A

　

　

　Com A　 Df. ∀x　x∈A　⇒　∃!B B⊂A ∧ B ma x

　Con A　 Df. ∀x∀y　x∈A ∧ y∈A　⇒　x<y | A　V　y<x | A　V　x=y

　Reg A　 Df. ∀B (∃b b∈B) ∧ B⊂A　⇒　∃a a∈B ∧ (∀b b < a | A ⇒ ¬b∈B)

　

　

　x<y | A　 Df. ∃B (x∈B ∧ B ma y) ∧ B⊂A

　B⊂A　　 Df. (∀a (a∈B ⇒ a∈A)) ∧ ¬(A=B)

　

　コメント： Com, Con, Reg は、完全- complete -、連結- connected-、正則- regularity-のそれぞれ略である。.

　　　　　　 Com はまた、推移性- transitive-に対応し、Con + Reg は整列- well-ordering-に対応している。.

　　　　　　 B⊂A は、 B がAの真部分集まりであることを意味している。

　

　次の定理を証明することが可能である。

　T.2 Ord N

　　　　　但し、

　　　　　N　　Df. ∀a a∈N ⇔ ord a

　ex. ３．Modelの M5を見よ。 0, 1, 2, 3, n は順序数である。故に、 N = U = {0,1,2,3,n} となり、それは順序集まりである。

　

　T.3 Ord n

　T.4 ¬Set n

　　　　　但し、 N ma n

　

　

　

　５−２．T.2の証明

　

　

　

　次の定理を証明する。　

　

　T.C.1　　 ∀a a∈A ∧ Ord A ⇒ Ord a

　

　　　fig.1を見よ。

　Ord A が仮定されている、従って Com A、故に

　

　∀a a∈A ⇒ ∃!B B ma a ∧ B ⊂ A

　

　B はただ一つ存在する、そこでこれを "B0"と名付け、次のように "Ord B0" を証明する。

　

　T.C.1.1　　Com B0

　

　　 ∀b b∈B0 ⇒ b∈A　, 何故なら B0⊂　A

　　 Com A , 故に

　　 ∃!C C ⊂ A ∧ C ma b　

　

　もし次の命題を仮定するなら、　　…… fig.1を見よ

　

　P.1 ∃c c∈C ∧ ¬ c∈B0

　

　　　a = c ならば, これは b < a | A ∧ a < b | A を意味する。　 ……fig.1. a=c

　　 集まり {a,b}を考察すると、 ¬ Reg A　が得られる。

　　 しかし、 Ord A 故に Reg A. これは矛盾である。　　　

　

　　 あるいは、 ¬ a = c ならば、 Con A が仮定されているので、 a < c | A V c < a | A となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　

　　　a < c | A ならば b < a | A ∧ c < b | A ∧ a < c | A となる。　 ……fig.1. a<c

　　 集まり {a,b,c}を考察すると、 ¬ Reg A　が得られる。これは矛盾である。

　

　　　c < a | A ならば ∃B' c∈B' ∧ B' ma a ∧ B' ⊂ A 。　　……fig.1. a<c

　　 しかし、 Com A 、故に ∃! C C ma a 。 これは B0 = B' を意味している。　　

　　 故に、 c∈B0 となる、しかし、 P.1 　　 ¬ c∈B0　。これは矛盾である。

　

　　 従って P.1 は否定される。

　

　　 C ⊆ B0 が証明された。

　

　　 さらに、 ¬ b∈C 、故に ¬ B0 = C 、従って C ⊂ B0　。　

　　　なぜなら、 b∈C ならば b < b | A　 、 {b}を考察して、 ¬ Reg A　。

　

　　 ∀b b∈B0 ⇒ ∃!C C ⊂ B0 ∧ C m b　 が証明された。

　

　　T.C.1.2 　Con B0　　

　

　　 ∀b b∈B0 ⇒ b∈A　, なぜなら B0 ⊂ A

　　 Con A , 故に

　　 ∀a∀b ( a∈B0　∧　b∈B0 ) ⇒ ( a = b　V　a < b | A　V　b < a | A )　　....(1)

　　右辺のa < b | A　は　" < "　の定義から、次のことを意味している。

　　∃C　a∈C　∧　C ma b　∧　C ⊂ A　....(2)　

　　さらに C ⊂B0　を証明することが可能である。　 T.C.1.1.についての考察と同じ方法による。

　　故に、(2)は次のような式になる。

　　∃C　a∈C　∧　C ma b　∧　C ⊂ B0　　

　

　　従って、 (1) は次のような論理式になる。

　　∀a∀b ( a∈B0　∧　b∈B0 ) ⇒ ( a = b　V　a < b | B0　V　b < a | B0 )　　

　　これは Con B0　の定義である。

　

　　T.C.1.3　Reg B0　　　　　　　　　　　　　　　　　

　

　　次のような公理を仮定する。

　

　　A. Reg.　∀B Com B　⇒　Reg B　

　

　　T.C.1.1. と A. Reg から Reg B0　が導かれる。

　　コメント　：

　　この公理なしで　T.C.1.3. を証明することも可能である。その場合、困難な点はない。

　　ＺＦの公理のように　∀B Reg B　を公理とすることは、一般にはあるクラスの中で"<" が定義できないために不可能である

　

　　T.C.1.1. と T.C.1.2. と T.C.1.3.は Ord B0　を意味している。

　　故に、 T.C.1. が証明された。

　

　T.C.1は「順序集まりの要素はすべて順序数である」ことを示しているので、ＺＦならばこれはＮのCompletenessを表しているのであるが、ＦＣでCom Ｎを言うには、さらにある順序数aを作る順序集まりAがただ一つであることとそれがＮと一致しないことを示さなければならない。

　

　T.C.2　¬ A = N　　　　

　もし、¬ A = N　ならば、

　　　　A⊂N　　　　

　

　もし、A = N　とすると、

　　　　Ord A 　より

　　　　Ord N 、Ord n　　

　　　　故に

　　　　Com N　　

　従って　a ∈Ｎ　と、Com の定義より

　　　　∃!B B⊂N ∧ B ma a

　この場合もaを作るＮの真部分集まりがただ一つ存在する。

　

　　　　　　　　　　　　　　　　つづく

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